Как мотивировать учеников на уроке математики

Задача оптимизации решения через обнаружение закономерности или образца (паттерна).

Основы мотивации – это интерес и вынуждение. Другими словами, желание и страх. Попробуем это обыграть. Во все времена цениться оптимальное или рациональное решение, значит можно предложить задачи на то, чтобы стать первым или объявить себя автором идеи. Или задачи требующие выполнения за ограниченное время, используем страх чего-либо лишиться, как мотиватор. Предложите ученикам самим выбрать ситуацию, в которой они будут решать задачу. Для затравки предложите им себя почувствовать в кресле отвечающего на передаче «Кто хочет стать миллионером?». Пусть сами решат какая сумма вопроса на кону.  

Умножение в уме

Давайте начнем с простых математических операций. Предложите двум ученикам посоревноваться одному в роли ведущего надо не потерять сумму, другому хочется её выиграть.  Например, кто быстрее умножит четырехзначное число на 5.  Пусть из класса четыре человека назовут четыре цифры. Запишите их на доске. Кто быстрее ответит ведущий или приглашенный игрок? После нескольких раз спросите можно ли упростить процедуру? Задав такой вопрос, вы заинтересуете и начнете мотивировать учеников к выполнению этой задачи. Зачастую, многие и не подозревают, чтобы быстрее получить результат необходимо произвести две математические операции, а именно четырехзначное число разделить на два и умножить на десять. Например, 3456 х 5 = 3456/2 x 10 = 17 280

Также можно сделать с умножением на 4. Алгоритм тоже очень прост. Первым действием умножаем исходное число на 2, вторым действием умножаем результат первого действия на 2 опять. Например: 79 x 4 = (79 x 2) x 2 = 158 x 2 = 316.

Умножение на 9. И опять выполняем за два действия. Умножаем исходное число на десять и вычитаем исходное число из произведения первого действия. Например: 69 x 9 = 69 x 10 – 69= 690 – 69 = 621

Магия чисел

Какие бываю числа? Натуральные, реальные, комплексные, совершенные, восхитительные, и.т.д.

Рассмотрим натуральное число 666 (шестьсот шестьдесят шесть). Что можно о нём сказать помимо связанного с ним мистицизма, так как его избегает христианская церковь, которая называет его числом зверя?

Это число палиндро́м, т.е. число, одинаково читающееся в обоих направлениях. Его ещё называют числом Харшад (то есть оно делится нацело на сумму своих цифр): 666 / (6 + 6 + 6) = 666 / 18 = 37. Его также называю треугольным числом, так 666 точек могут быть расставлены в форме правильного треугольника. На игровой рулетке в казино 37 секторов от 0 до 36 включительно и сумма чисел от 1 до 36 равна 666.

Удивительная связь

Разбейте класс по 2 парты на группы. Пусть каждый выберет себе четырехзначное число, которое может иметь не больше одного повторения цифр. Например, можно выбрать 4345, 6565 или 1234. Но нельзя 8888 или 5535.

Теперь из полученных 4 цифр образуйте наименьшее число и наибольшее число. Например, если вы выбрали 4510, то вы получите наибольшее число 5410 и наименьшее 145.

Теперь вычтем наименьшее из наибольшего. 4510 -> 5410-145 = 5265, повторим операцию не менее 6 раз. Задача группы найти повторяющиеся число, как разность наименьшего и наибольшего во всех выбранных вариантах начальных чисел. Группа, которая, находит число, пишет его на листке бумаги, но не показывает её другим. Представитель группы выходит к доске и ждет сигнала учителя, чтобы по команде всем вместе перевернуть листок. Например, для числа 4510:

1. 4510 -> 5410-145 = 5265
2. 5265 -> 6552-2556 = 3996
3. 3996 -> 9963-3699 = 6264
4. 6264 -> 6642-2466 = 4176
5. 4176 -> 7641-1467 = 6417

Возьмем второе число 2015 -> 5210-125 = 5085

1. 5085 -> 8550-558 = 7992
2. 7992 -> 9972-2799 = 7173
3. 7173 -> 7731-1377 = 6354
4. 6354 -> 6543-3456 = 3087
5. 3087 -> 8730-378 = 8352
6. 8352 -> 8532-2358 = 6174  

Ответ: Во всех примерах повторяется число 6174. Эту удивительную связь между 6174 и четырёхзначными числами в 1950 году обнаружил математик по имени Капрекар.

Ищем восхитительных числа

Следующая задача хороша для тех, кто решает вперёд и затем ждёт пока класс подтянется. Чтобы занять ум попросите их найти четырехзначное число, которое делится на 25, его сумма цифр делится на 25 и его произведение цифр делится на 25.

Ход решения. Запишем число в виде: abcd

Число делятся на 25 без остатка, если оно заканчивается двумя нулями, самим собой, пятьюдесятью или семьюдесятью пятью. Тогда искомое число могло бы выглядеть так: ab00 / ab25 / ab50 / ab75. Вызовите к доске 4 -ёх учащихся, чтобы проверить каждое из этих чисел на соответствие критериям.  Важно, чтобы каждый ученик у доски прокомментировал ход решения и в классе не осталось тех, кто не понял логику рассуждения, иначе мотивировать учеников разгадать данную задачу, пропадет. Поэтому можно разрешить задавать вопросы с места.   

Решение:

Проверим числа относительно второго условия, сумма цифр должна делиться на 25 без остатка, т. е. a + b + с + d = 25.

1) Число ab00 не подходит, поскольку сумма цифр, если c=0 и d=0 даже при максимальных значения a=9; b=9; a + b + с + d = 9 + 9 + 0 + 0 = 18≠25

2)  Число ab25 подходит, поскольку сумма цифр a + b + 2 + 5 = a + b + 7, что возможно только если a=9; b=9, т. к. 25 – 7 = 18 = a + b. Тогда число 9925 остается проверить на соответствие третьему условию, что произведение цифр должно делиться на 25 нацело. Проверим произведение: 9·9·2·5 = 810. Но 810 не делится нацело на 25. Значит, число ab25 не подходит.

3)  Число ab50 тоже не годится, поскольку сумма должна равняться 25 = a+b+5+0. a + b=20, чего быть не может.

4) Проверим ab75. Возможны варианты, при которых сумма будет равна 25 = a + b + 7 + 5 = a + b + 12; т. е. a + b = 25 – 12 = 13.  Рассмотрим эти 6 вариантов и их соответствие 3-му условию:

4.1) 9 + 4 = 13 или 4 + 9 = 13; и проверка соответствию 3 условию: 9 · 4 · 7 · 5 = 1260. 1260 не делится на 25 нацело. Значит ни число 9475, ни 4975 не годятся.

4.2) 8 + 5 = 13 и 5 + 8 = 13; и проверка 5 · 8 · 7 · 5 = 1400. Число 1400 делится на 25 нацело. Пара великолепных чисел найдена. Это 8575 и 5875.

4.3) Проверим ещё одну пару 7 + 6 = 13 и 6 + 7 = 13; 7 · 6 · 7 · 5 = 1260. 1260 не делится на 25 нацело.

Итак, два четырехзначных восхитительных числа: 5875 и 8575.

Сумма целых чисел 1 до 100 за минуту.

Задайте ученикам вычислить сумму всех целых от 1 до 100 за минуту. Этим самым, вы сможете мотивировать учеников решить эту задачу. Объясните, что задание заключается не в скорости набора клавиш на калькуляторе, а в определении закономерности. Первый раз с этим заданием справился 10-летний мальчик ещё в 1787 году.  По истечении минуты расскажите, что смышленого мальчишку звали, Карл Фридрих Гаусс.

Как он это сделал? Он выделил 49 пар чисел: 1+99=100; 2+98=100; 3+97=100; …; 48+52=100; 49+51=100; В сумме каждая пара чисел равнялась ста, и оставалось два непарных числа 50 и 100. Следовательно, 49х100+50+100=5050.

Второй способ — нахождение алгоритма упрощающего действия. Если складывать попарно первое и последнее, 1+100=101; 2+99=101; 3+98=101. То, получиться 50 пар повторений. То есть 101 надо умножить на 50.  Ответом будет также 5050.

Для тех, кто не знал, Карл Фридрих Гаусс считается одним из величайших математиков всех времён, и его портрет украшал 10 немецких марок, старой валюты Германии до введения евро. Для тех, кто сказал, что понял пусть, сложат от 1 до 200.

Графическое отображение чисел

Когда дети устали от чисел, поговорите с ними о том, что используется для быстрого и наглядного отображения.  Скорей всего, таблицы, графики и диаграммы назовут многие. Будет не лишним напомнить, что диаграммы бывают, столбчатые, точечные, круговые, вторичные круговые, ярусные, областные, и.т.д. А также для визуального отображения применяются, гистограммы, графы и карты. Спросите, что из картинки очертаний острова сделает карту? Вспомните, что такое масштаб.

Задайте вопрос кто придумал первый график? С возможностью прогуглить ответы в своём смартфоне. Возможно, вам расскажут о шумерах, египетских или греческих ученых.  Правильного ответа нет, но обсуждение версий обогащает кругозор.  Здесь следует упомянуть вклад французских ученых Рене Декарта и Франсуа Виета, которые заложили основы понятия функций, они же разработали единую буквенную математическую символику, которая используется и сегодня. Напомните, что Декартова прямоугольная система координат напрямую связана с Рене Декартом, а график невозможно построить без системы координат. Разберите почему так важно в системе задать начало координат? Что такое роза ветров и как она связана с передвижением?  Вспомните солнечные часы и циферблат. Примечательно, что с немецкого цифербла́т (нем. Zifferblatt), дословно — «листок с числами».

Хороший вопрос на эрудицию:

Какое графическое изображение, придуманное древними греками, используется по сей день? Правильный ответ: знаки зодиака. Ведь, по сути, знаки зодиака, это относительно постоянные соотношения между линейными расстояниями ярких звезд, видимых с Земли на небесной сфере. Небесный круг был поделен на 360 угловых долей, (так сделали, потому что это соответствует примерному количеству дней в году). Теперь в геометрии доли мы называем градусами. Небесную сферу поделили на 12 равных секторов по 30° градусов. За начало была выбрана точка весеннего равноденствия. Направление по ходу годового движения Солнца. Точки от ярких звезд, попавших в сектора, были соединены отрезками. Получившимся фигурам были подобраны названия, напоминающие реальных или мифологических животных. Зодиак с греческого переводиться как звериный. Но есть и исключение Весы — единственное созвездие зодиака, представляющее неодушевлённый предмет. Так математика граничит с астрономией.

Расскажите, что возникновение диаграмм связано с экономикой.  Первую гистограмму опубликовал шотландский инженер и политэконом Уильям Плейфэр (англ. William Playfair). Его работа «Коммерческий и политический атлас» увидела свет в 1786 году. Ему же принадлежит первое опубликованное изображение круговой диаграммы или как её ещё иногда называют секторной диаграммы в круге. Это произошло в Лондоне в 1801. На ней отражены показатели экспорта Турции в страны Азии, Европы и Африки. Его работы послужили толчком для развития графических методов отображения в других науках.

Физика плюс математика

Часто без практики тяжело объяснить, что такое инженерное мышление. Чтобы урок стал разнообразней разбейте класс на группы и используйте сенсор движения (Wireless Motion Sensor PS-3219) вместе с бесплатным программным обеспечением от PASCO SCIENTIFIC, которое называется MatchGraph! Software. Смысл задач проверить насколько учащийся может читать график отображенной функции. Для этого нужно повторить график изменяя свое положение тела относительно сенсора движения.

Технически это выглядит так:

1. На учительский компьютер устанавливается MatchGraph! Software.
2. беспроводной сенсор движения подключается через Bluetooth к программе MatchGraph! изображение выводиться на экран через проектор, чтобы класс мог видеть происходящее
3. сам сенсор движения устанавливается на краю стола, так чтобы от края стола по прямой линии было около 3 метров свободного пространства.
4. В программе вводиться имя участника и после нажатия кнопки старт ученик должен максимально точно повторить график своим движением тела по одной линии.
5. По завершению выдается очки, которые рассчитываются из того насколько график, описывающий движение ученика, совпал с заданным.

Вначале большинство учеников пытаются разобраться так называемым методом «тыка», то есть методом проб и ошибок. Но если объяснить, как читать график, то можно добиться лучшего результата и тем самым мотивировать учеников. Как именно читать график:

1. Начальная точка. Где она?
2. Как быстро меняется график функции на первом отрезке. Посчитайте скорость зная время и расстояние. При исполнении считайте про себя, а не только смотрите на график. Между прочим пилоты гоночных машин также мысленно проходят трассу перед заездом для получения лучших результатов.
3. Что происходит в точках изгиба?

Так как использование технических средств повышает вероятность неисправностей. Не бойтесь привлекать учеников для их устранения. Обсудите, что означают помехи на графике.

Что является средой для ультразвукового сенсора? Правильный ответ – воздух. Почему летучие мыши могут сбиваться во время сильного ветра? Какие ещё сенсоры для определения положения тела в пространстве вы знаете? (Инфракрасный, видеокамера, спутниковый, лидар, по радио меткам, и.т.д). Какие ограничения использования имеют сенсоры?   

Заключение

Используя связи математики с историей, физикой, робототехникой, позволяя в игровой форме справляться с решением, помогая одноклассникам и учителю в технологическом плане, вы сможете мотивировать учеников заниматься математикой с интересом, объясняя и доказывая на практике высказывание известного немецкого математика Карла Гаусса: «Математика – царица наук, а арифметика – царица математики».